Это классическая задача теории вероятностей. Пожалуй, это самая известная и, наверное, самая интересная вероятностная задача, связанная с игровой тематикой. Сопутствующими вопросами занимались в своё время многие выдающиеся математики.
В игре участвуют два игрока. Игрок M имеет m денежных единиц, игрок N – n единиц. В каждом раунде один игрок выигрывает, а другой проигрывает единицу. Вероятность выигрыша игрока M равна p, игрок N выигрывает с вероятностью q = 1 – p. Игра продолжается до полного разорения одного из игроков. Вопрос: с какой вероятностью одержит победу каждый из игроков?
Не вдаваясь в математические подробности, сразу же приведём ответ. Игрок M разорит своего противника с вероятностью
1 – (q /p)m
P = ––––––––––– (1)
1 – (q /p)m+n
Второй игрок одержит победу с вероятностью Q = 1 – P.
Если p = q = 1/2, то в нашей формуле возникает неопределённость 0/0. Можно показать, что в этом случае
m
P = ––––– (p = q = 1/2) (2)
m + n
Эти формулы очень часто используются в различных игровых задачах. Приведём лишь пару примеров.
1. Что лучше – деньги или умение? Предположим, что игрок M более искусный и выигрывает в каждом раунде с вероятностью 2/3. Таким образом, p = 2/3, q = 1/3. Однако игрок N богаче своего противника. Для простоты будем считать, что m = 1, n = 2. Из формулы (1) вытекает, что P = 4/7, т.е. шансы игрока M предпочтительнее. А значит, лучше быть вдвое более искусным, чем вдвое более богатым.
А теперь, сохраняя прежние значения m и n, предположим, что оба участника играют в одинаковую силу, т.е. p = q = 1/2. Из формулы (2) следует, что P = 1/3. Подсчитаем теперь средний выигрыш игрока M: 1/3∙2 + 2/3∙(–1) = 0. Вывод очень простой: средний выигрыш каждого из игроков равен нулю, т.е. в целом игра совершенно безобидная. Возможно, этот результат для многих окажется неожиданным.
2. Что лучше – смелая игра или осторожная? Человеку, находящемуся в командировке, нужны 40 евро, но у него осталось только 20. Он не хочет телеграфировать жене о переводе денег и решает поиграть в рулетку. При этом он выбирает между двумя стратегиями – либо сразу поставить 20 евро на красное и при любом исходе закончить игру, либо ставить по одному евро на красное, пока он не удвоит свои деньги или не проиграет их. Какая стратегия предпочтительнее?
Смелая игра, т.е. ставка всех своих денег, даёт игроку вероятность выигрыша 18/37, т.е. примерно 0,486. При осторожной игре мы имеем дело с задачей о разорении игрока с такими параметрами:
m = 20, n = 20, p = 18/37, q = 19/37
Подставляя эти значения в формулу (1), можно вычислить, что вероятность выигрыша P примерно равна 0,253. Таким образом, осторожная игра уменьшает шансы игрока почти вдвое. Добавим, что на американской рулетке различие было бы ещё более резким.
Интуитивное объяснение этого результата состоит в том, что смелая игра – это к тому же быстрая игра. Время игры против казино сокращается, а эта игра, как известно, вовсе не безобидная.
Литература:
Ф. Мостеллер. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Москва, «Наука», 1975.
Комментарии (0)