Геометрическая прогрессия

1. в математике: ряд увеличивающихся (или уменьшающихся) чисел, в котором отношение между соседними числами сохраняет постоянную величину.

2.  в преферансе принцип увеличения стоимости каждой взятки от распасовки к распасовке при двух и более распасовках подряд. Например: на первой распасовке каждая взятка стоит по 1 очку, на второй – по 2, на третьей – по 4. Прогрессия может быть либо геометрической, либо арифметической.

3. в нардах и других играх с увеличением ставок (даве) - размер этого увеличения.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение 

  • Людей всего 7,
  • кошек  = 49, 
  • они съедают всего = 343 мыши, 
  • которые съедают всего = 2401 колосьев, 
  • из них вырастает = 16807 мер ячменя,
  • в сумме эти числа дают 19 607

 

Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Ответ137 256

Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 (qn – 1) / (q – 1). Эту формулу можно доказать, например, так: Sn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn – 1.

Добавим к Sn число b1qn и получим:

Sn + b1qn = b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn – 1 + b1qn = b1 + (b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + ... + b1qn –1q = b1 + Snq.

Отсюда Sn (q – 1) = b1 (qn – 1), и мы получаем необходимую формулу.

Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 = 210 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.

Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (264 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.

Подписаться на новые публикации автора

Комментарии (0)

Пожалуйста, авторизуйтесь для того, чтобы комментировать